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<!DOCTYPE html>

<title>Ellipsoïde de révolution</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Ellipsoïde de révolution</span></h1>

</header>

</div>

<div class="thumbcaption">Ellipsoïdes allongé (oblong ou prolate), et aplati (oblate).</div>

</div>

<p>En <a href="Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, un <b>ellipsoïde de révolution</b>, ou <b>sphéroïde,</b> est une <a href="Surface_de_r%C3%A9volution" title="Surface de révolution">surface de révolution</a> obtenue par <a href="Rotation_dans_l'espace" title="Rotation dans l'espace">rotation dans l'espace</a> d'une <a href="Ellipse_(math%C3%A9matiques)" title="Ellipse (mathématiques)">ellipse</a> autour de l'un de ses <a href="Axe_(math%C3%A9matiques)" title="Axe (mathématiques)">axes</a> de symétrie. Comme tout <a href="Ellipso%C3%AFde" title="Ellipsoïde">ellipsoïde</a>, il s'agit d'une <a href="Surface_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" class="mw-redirect" title="Surface (géométrie)">surface</a> <a href="Quadrique" title="Quadrique">quadrique</a>, c'est-à-dire qu'elle est décrite par une équation de degré 2 en chaque coordonnée dans un <a href="Rep%C3%A8re_cart%C3%A9sien" class="mw-redirect" title="Repère cartésien">repère cartésien</a>.

</p><p>L'expression peut aussi parfois désigner le volume borné délimité par cette surface, notamment pour décrire des objets physiques tels que la <a href="Terre_(plan%C3%A8te)" class="mw-redirect" title="Terre (planète)">Terre</a> ou des <a href="Noyau_atomique" title="Noyau atomique">noyaux atomiques</a>.

</p><p>Un ellipsoïde de révolution peut être :

</p>

<ul><li>allongé (ou <a href="https://fr.wiktionary.org/wiki/oblong#fr" class="extiw external" title="wikt:oblong">oblong</a> ou <a href="https://fr.wiktionary.org/wiki/prolate#fr" class="extiw external" title="wikt:prolate">prolate</a>) si l'axe de rotation est l'axe principal (ou grand axe) de l'ellipse, ce qui lui donne une forme de <span class="page_h"><a href="Ballon_de_rugby" class="mw-disambig" title="Ballon de rugby">ballon de rugby</a></span> ;</li>

<li>aplati (<a href="https://fr.wiktionary.org/wiki/oblate#fr" class="extiw external" title="wikt:oblate">oblate</a>) dans le cas contraire (par exemple la <a href="Figure_de_la_Terre" title="Figure de la Terre">surface de la Terre</a>, approximativement) ;</li>

<li><a href="Sph%C3%A8re" title="Sphère">sphérique</a>, dans le cas particulier où l'ellipse génératrice est un cercle.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés"><span id="Propri.C3.A9t.C3.A9s"></span>Propriétés</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Paramétrisation"><span id="Param.C3.A9trisation"></span>Paramétrisation</h3></div>

<p>Dans un plan de coupe contenant l'axe de rotation, la trace de l'ellipsoïde est une ellipse paramétrée en <a href="Coordonn%C3%A9es_cylindriques" title="Coordonnées cylindriques">coordonnées cylindriques</a> par un angle au centre <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">θ</span> variant entre <span class="texhtml">0</span> et <span class="texhtml">2π</span> sous la forme :

</p>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{cases}r(\theta )=q\cos \theta \\z(\theta )=p\sin \theta \end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2cfcfc0ef5050371ca8b47e908641d375fb54aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:15.587ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{cases}r(\theta )=q\cos \theta \\z(\theta )=p\sin \theta \end{cases}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>où <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span> est le rayon polaire (longueur du demi-axe de rotation) et <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">q</span> le rayon équatorial de l'ellipsoïde.

</p><p>L'ellipsoïde de révolution est donc paramétré en coordonnées cartésiennes dans un <a href="Base_orthonorm%C3%A9e" title="Base orthonormée">repère orthonormal</a> approprié par :

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{cases}x(\theta ,\phi )=q\cos \theta \cos \phi \\y(\theta ,\phi )=q\cos \theta \sin \phi \\z(\theta ,\phi )=p\sin \theta \end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9227679f10673cfd44ab86e54c5643628f2c73c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:23.881ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{cases}x(\theta ,\phi )=q\cos \theta \cos \phi \\y(\theta ,\phi )=q\cos \theta \sin \phi \\z(\theta ,\phi )=p\sin \theta \end{cases}}}" loading="lazy"></span></span>

où l'angle de rotation <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ϕ</span> varie entre <span class="texhtml">0</span> et <span class="texhtml">π</span>.

</p><p>Cette paramétrisation n'est pas unique. Une paramétrisation équivalente, mais qui rend justice à la symétrie de révolution autour de l'axe <span class="texhtml">O<i>z</i></span> et à la symétrie par rapport au plan <span class="texhtml"><i>x</i>O<i>y</i></span>, prend <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">θ</span> compris entre −<span class="texhtml"><span style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em;">π</span><span style="position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden">/</span><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em; border-top:1px solid;">2</span></span></span> et +<span class="texhtml"><span style="display:inline-block; vertical-align:-0.5em; font-size:85%; text-align:center;"><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em;">π</span><span style="position:absolute;left:-10000px;top:auto;width:1px;height:1px;overflow:hidden">/</span><span style="display:block; line-height:1em; margin:0 0.1em; border-top:1px solid;">2</span></span></span>, et <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">ϕ</span> entre <span class="texhtml">0</span> et <span class="texhtml">2π</span> ou −<span class="texhtml">π</span> et +<span class="texhtml">π</span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Équation_cartésienne"><span id=".C3.89quation_cart.C3.A9sienne"></span>Équation cartésienne</h3></div>

<p>La paramétrisation proposée ci-dessus fournit l'<a href="%C3%89quation_cart%C3%A9sienne" title="Équation cartésienne">équation cartésienne</a> :

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x^{2}}{q^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q^{2}}}+{\frac {z^{2}}{p^{2}}}=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acbcff7b8fa3d294c90c71f6896ccaf2006f13d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.272ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{q^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q^{2}}}+{\frac {z^{2}}{p^{2}}}=1}" loading="lazy"></span></span>qui montre que l'ellipsoïde de révolution est une surface <a href="Quadrique" title="Quadrique">quadrique</a>.

</p><p>Avec ces notations, un ellipsoïde de révolution apparaît comme l'image d'une sphère de rayon <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">q</span> par une <a href="Affinit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Affinité (mathématiques)">affinité</a> de rapport <span class="texhtml"><i>p</i>/<i>q</i></span> parallèlement à l'axe de rotation.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Volume_intérieur"><span id="Volume_int.C3.A9rieur"></span>Volume intérieur</h3></div>

<p>Le volume intérieur délimité par un ellipsoïde de révolution s'obtient comme cas particulier du <a href="Ellipso%C3%AFde#Volume" title="Ellipsoïde">volume d'un ellipsoïde quelconque</a> :

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi pq^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b8c086d1f576d60d66c04e69233c3aa0f63f540.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.519ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi pq^{2}}" loading="lazy"></span></span>

où <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">p</span> est le rayon polaire et <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">q</span> le rayon à l'équateur.

</p>

<p>L'aire d'un ellipsoïde de révolution est donnée par deux formules différentes selon que l'axe de symétrie de l'ellipse utilisé pour la rotation est son grand axe ou son <a href="Petit_axe" title="Petit axe">petit axe</a>. Pour lever les ambiguïtés, les notations choisies sont les notations usuelles pour les ellipses : la demi-longueur du grand axe est notée <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">a</span>, celle du petit axe est notée <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">b</span>, l'<a href="Excentricit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Excentricité (mathématiques)">excentricité</a> <span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">e</span> étant donnée par la formule :<span style="display: block; margin-left:1.6em;"><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}.}">

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bed5a1479d6ab45360ff6812fcb935fadb507ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.165ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle e={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}.}" loading="lazy"></span></span>

</p>

<ul><li>Si <span class="texhtml"><i>a = b</i></span>, l'aire se calcule avec la formule suivante :<span style="display: block; margin-left:1.6em;"><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=4\pi R^{2},}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=4\pi R^{2},}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71eae019bece6f79e0c361486e1990d9a061f833.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.801ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A=4\pi R^{2},}" loading="lazy"></span></span>où <span class="texhtml"><i>R = a = b</i></span>.</li>

<li>Lorsque l'axe de rotation est le petit axe, l'ellipsoïde est aplati, son rayon polaire étant strictement inférieur à son rayon équatorial, et l'aire est donnée par la formule :<span style="display: block; margin-left:1.6em;"><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=2\pi a^{2}+{\frac {\pi b^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}.}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=2\pi a^{2}+{\frac {\pi b^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04c41e3418ae37864322c32647718b0a550e87f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:25.963ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle A=2\pi a^{2}+{\frac {\pi b^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}.}" loading="lazy"></span></span></li>

<li>Lorsque l'axe de rotation est le grand axe, l'ellipsoïde est allongé, son rayon polaire étant strictement supérieur à son rayon équatorial, et l'aire est donnée par la formule :<span style="display: block; margin-left:1.6em;"><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=2\pi b^{2}+2\pi ab{\frac {\arcsin e}{e}}.}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<mi>arcsin</mi>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=2\pi b^{2}+2\pi ab{\frac {\arcsin e}{e}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/424186157422eaf43ceba43729b056165652b038.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.866ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle A=2\pi b^{2}+2\pi ab{\frac {\arcsin e}{e}}.}" loading="lazy"></span></span></li></ul>

<div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em">

<p><a href="Surface_de_r%C3%A9volution#Propriétés_métriques" title="Surface de révolution">L'aire est donnée par la formule</a> :

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=4\pi \int _{0}^{\pi /2}q\cos \theta {\sqrt {q^{2}\sin ^{2}\theta +p^{2}\cos ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/155a7f66e6a75da3ff16b133547bc847a90a613a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:43.534ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle A=4\pi \int _{0}^{\pi /2}q\cos \theta {\sqrt {q^{2}\sin ^{2}\theta +p^{2}\cos ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }" loading="lazy"></span></span>

donc à l'aide du <a href="Int%C3%A9gration_par_changement_de_variable" title="Intégration par changement de variable">changement de variable</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u=\sin \theta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u=\sin \theta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1407a0e30600e7193647754c4cbab511708e159d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.761ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle u=\sin \theta }" loading="lazy"></span> avec <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} u=\cos \theta \mathrm {d} \theta }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} u=\cos \theta \mathrm {d} \theta }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b24a4138af9e21a3214cb8ae2a874c712b4892e9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.692ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} u=\cos \theta \mathrm {d} \theta }" loading="lazy"></span>,

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=4\pi q\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {q^{2}u^{2}+p^{2}(1-u^{2})}}\ \mathrm {d} u=4\pi q\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {(q^{2}-p^{2})u^{2}+p^{2}}}\ \mathrm {d} u.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17f3191c544ed771f1194d2a01d1a46276a7a939.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:68.038ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle A=4\pi q\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {q^{2}u^{2}+p^{2}(1-u^{2})}}\ \mathrm {d} u=4\pi q\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {(q^{2}-p^{2})u^{2}+p^{2}}}\ \mathrm {d} u.}" loading="lazy"></span></span>

La suite des calculs dépend du signe de la différence <span class="texhtml"><i>q</i><sup>2</sup> – <i>p</i><sup>2</sup></span> pour appliquer les formules des <a href="Primitives_de_fonctions_irrationnelles" title="Primitives de fonctions irrationnelles">primitives de fonctions irrationnelles</a>.

</p>

<ul><li>Si <span class="texhtml"><i>q</i> > <i>p</i></span> : avec les égalités <span class="texhtml"><i>q = a</i></span> et <span class="texhtml"><i>p = b</i></span>, l'intégrale s'écrit :<span style="display: block; margin-left:1.6em;"><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {b^{2}+(a^{2}-b^{2})u^{2}}}\ \mathrm {d} u={\frac {a}{2}}+{\frac {b^{2}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\operatorname {artanh} {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mi>artanh</mi>

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {b^{2}+(a^{2}-b^{2})u^{2}}}\ \mathrm {d} u={\frac {a}{2}}+{\frac {b^{2}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\operatorname {artanh} {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a22555eb6b61bf40fcc7055f75e09f6a86a18472.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:62.259ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {b^{2}+(a^{2}-b^{2})u^{2}}}\ \mathrm {d} u={\frac {a}{2}}+{\frac {b^{2}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\operatorname {artanh} {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}" loading="lazy"></span></span>donc l'aire se réécrit :<span style="display: block; margin-left:1.6em;"><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=2\pi a^{2}+2\pi b^{2}{\frac {\operatorname {artanh} e}{e}}=2\pi a^{2}+{\frac {\pi b^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}.}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

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</msup>

<mfrac>

<mrow>

<mi>artanh</mi>

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

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<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=2\pi a^{2}+2\pi b^{2}{\frac {\operatorname {artanh} e}{e}}=2\pi a^{2}+{\frac {\pi b^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35c95ae457114ea3149cdcf71165be7e1d47cd93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:50.26ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle A=2\pi a^{2}+2\pi b^{2}{\frac {\operatorname {artanh} e}{e}}=2\pi a^{2}+{\frac {\pi b^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}.}" loading="lazy"></span></span></li>

<li>Si <span class="texhtml"><i>q</i> < <i>p</i></span> : avec les égalités <span class="texhtml"><i>p = a</i></span> et <span class="texhtml"><i>q = b</i></span>, l'intégrale s'écrit :<span style="display: block; margin-left:1.6em;"><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {a^{2}-(a^{2}-b^{2})u^{2}}}\ \mathrm {d} u={\frac {b}{2}}+{\frac {a^{2}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\arcsin {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}">

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</mrow>

</msubsup>

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<mi>arcsin</mi>

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</msqrt>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {a^{2}-(a^{2}-b^{2})u^{2}}}\ \mathrm {d} u={\frac {b}{2}}+{\frac {a^{2}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\arcsin {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d7dc987fd994e5393e8b5664c12993aa2d3e2cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:61.66ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {a^{2}-(a^{2}-b^{2})u^{2}}}\ \mathrm {d} u={\frac {b}{2}}+{\frac {a^{2}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\arcsin {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}" loading="lazy"></span></span>donc l'aire se réécrit :<span style="display: block; margin-left:1.6em;"><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=2\pi b^{2}+2\pi ab{\frac {\arcsin e}{e}}.}">

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</msup>

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<mi>arcsin</mi>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=2\pi b^{2}+2\pi ab{\frac {\arcsin e}{e}}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/424186157422eaf43ceba43729b056165652b038.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.866ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle A=2\pi b^{2}+2\pi ab{\frac {\arcsin e}{e}}.}" loading="lazy"></span></span></li></ul>

</div><div class="clear" style="clear:both;"></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Applications">Applications</h2></div>

<p>Plusieurs exemples d'ellipsoïdes de révolution apparaissent en <a href="Physique" title="Physique">physique</a>. Par exemple, une masse fluide soumise à sa propre <a href="Attraction_gravitationnelle" class="mw-redirect" title="Attraction gravitationnelle">attraction gravitationnelle</a> et en rotation sur elle-même forme un ellipsoïde aplati. Un autre exemple est donné par la déformation de la Terre et surtout du niveau des océans en un ellipsoïde allongé sous l'action d'un champ gravitationnel extérieur, donnant lieu au phénomène des <a href="Mar%C3%A9e" title="Marée">marées</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Liens_externes">Liens externes</h2></div>

<ul><li><span class="ouvrage">« <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathcurve.com/surfaces/ellipsoid/ellipsoidrevol.shtml"><cite style="font-style:normal;">Ellipsoïde de révolution</cite></a> », sur <span class="italique">MathCurve</span></span></li></ul>

</div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de la géométrie</span> </span></li> <li><span class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone"><span class="noviewer" typeof="mw:File"></span></span> <span class="bandeau-portail-texte">Portail de la physique</span> </span></li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2025-01-27" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Ellipso%C3%AFde_de_r%C3%A9volution&oldid=222444605">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

</div>

</div></div>

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</main>

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</body></html>